LA LÓGICA DE LA ACCIÓN
Reglas de Inferencia
1. Todo axioma es verdadero y puede figurar en cualquier paso de una deducción o demostración.
2. Toda proposición obtenida por la aplicación de un axioma es verdadera y puede figurar en cualquier paso de una deducción.
3. Modus Ponendo Ponens Si P → Q es una proposición verdadera y P es una proposición verdadera, entonces Q es una proposición verdadera. Esquemáticamente, esta regla se puede escribir así
P → Q P Q
4. Sustitución Si P ↔ Q entonces se puede sustituir P por Q o Q por P en cualquier parte de una deducción o demostración.
Alfabeto
1. El conjunto P contiene las proposiciones simples, las cuales se denotan con letras mayúsculas latinas, lo que se puede escribir como P={P,Q,R,S,T,...}, en forma de subíndices se escribe P={P1,P2,P3,...}.
2. El conjunto O denota los operadores a utilizar, el cual se escribe como O={∨,∼}.
3. Los signos auxiliares están constituidos por los paréntesis que abren y cierran, se escribe A={(,)}.
Reglas de Formación
1. Todo elemento de P es una fórmula bien formada (f.b.f.).
2. Si P es una fórmula bien formada entonces ∼ P es una fórmula bien formada también.
3. Si P, Q son f.b.f. entonces P ∨ Q es una f.b.f.
4. Solo serán f.b.f. las cadenas que se generan al aplicar las reglas 1, 2 y 3.
Definiciones
Conjunción Si P, Q son proposiciones entonces la conjunción P ∧ Q equivale a ∼ (∼ P∨ ∼ Q).
Condicional Si P, Q son proposiciones entonces
P → Q equivale a ∼ P ∨ Q.
Bicondicional Si P, Q son proposiciones entonces P ↔ Q equivale a (P → Q) ∧ (Q → P)
Axiomas
Idempotencia Sea P una proposición entonces (P ∨ P) → P es una pro- posición verdadera.
Adjunción Sean P, Q proposiciones entonces
P → (P ∨ Q) es una propo- sición verdadera.
Conmutativa Sean P, Q proposiciones entonces
(P ∨Q) → (Q∨P) es una proposición verdadera.
Adición a la implicación Sean P, Q proposiciones entonces
(P → Q) → (R ∨ P → R ∨ Q)
es una proposición verdadera.