LA LÓGICA DE LA ACCIÓN
El sistema de la lógica proposicional será utilizado para el trabajo con las funciones proposicionales. La tercera regla de formación indica que, si Px y Qx son funciones proposicionales entonces las expresiones de la lógica proposicional como Px ∨Qx, ∼ Px, Px → Qx, Px ∧Qx, Px ↔ Qx, etc., también son funciones proposicionales.
Alfabeto
1. El mismo alfabeto de la lógica proposicional.
2. El conjunto de términos individuales que denotan a los sujetos (variables y constantes), en ambos casos se hace uso de las letras latinas minúsculas para denotarlos, para los primeros x,y,z,..., para los segundos a,b,c,...
3. El conjunto de letras predicativas que denotan las propiedades o características de los sujetos. Se denotarán con letras mayúsculas.
4. El cuantificador universal denotado como ∀.
Reglas de Formación
1. La función proposicional Px es una fórmula bien formada.
2. Si Px es una función proposicional entonces (∀x)(Px) designa una fórmula bien formada.
3. Sean Px y Qx funciones proposicionales, son aplicadas las reglas de formación del sistema formal de la lógica proposicional.
Definiciones
Cuantificador Existencial Si Px es una función proposicional entonces (∃x)(Px) designa la fórmula ∼ (∀x)(∼ Px).
Mecanismo Deductivo
Axiomas
En el axioma de ejemplificación universal se tiene que (∀x)(Px) puede ser ejemplificado por cualquier sujeto constante a que esté en el dominio de referencia, sin embargo, como este elemento es arbitrario, entonces se asumirá que (∀x)(Px) se ejemplificará como Px.
Axioma 1. Ejemplificación Universal (∀x)(Px) → (a/x)(Px) es un enunciado verdadero, igualmente (∀x)(Px) → Px.
Axioma 2. Generalización Universal (C → Px) → (C → (∀x)(Px)).
Axioma 3. Generalización Existencial (a/x)Px ↔ (∃x)(Px) es un enunciado verdadero.
Reglas de Inferencia
Sean Px y Qx funciones proposicionales.
1. Generalización Universal Si Px es una fórmula verdadera entonces (∀x)(Px) es una proposición verdadera.
2. Contraejemplo Si ∼ (a/x)Px es verdadera entonces ∼ (∀x)(Px) es una proposición verdadera.
3. Distribución del universal en la implicación Si Px → Qx es una función proposicional entonces (∀x)(Px) → (∀x)(Qx).
4. Distribución del existencial en la implicación Si Px → Qx es una función proposicional entonces (∃x)(Px) → (∃x)(Qx).
Teoremas
Teorema 1. Sean Px y Qx funciones proposicionales y x un sujetos variable. Si Px ↔ Qx para todo x en el dominio de referencia, (∀x)(Px) ↔ (∀x)(Qx) y (∃x)(Px) ↔ (∃x)(Qx).
Teorema 2. Propiedades del cuantificador universal Sean Px y Qx funciones proposicionales entonces
1. (∀x)(∼ (∼ Px)) ↔ (∀x)(Px) es una proposición verdadera.
2. (∀x)(Px ∧ Qx) ↔ [(∀x)(Px) ∧ (∀x)(Qx)] es una proposición verdadera.
3. [(∀x)(Px) ∨ (∀x)(Qx)] → (∀x)(Px ∨ Qx) es una proposición verdadera. 4. (∀x)(C ∧ Px) ↔ [C ∧ (∀x)(Px)] es una proposición verdadera.
Teorema 3. Propiedades del cuantificador existencial Sean Px y Qx funciones proposicionales entonces
Teorema 4. Negación del cuantificador existencial Si Px es una función proposicional entonces ∼ (∃x)(Px) ↔ (∀x)(∼ Px).
Teorema 5. Negación del cuantificador universal Si Px es una función proposicional entonces ∼ (∀x)(Px) ↔ (∃x)(∼ Px).
Teorema 6. Conmutatividad Si Pxy una función proposicional que depende de las variables x e y entonces 1. (∀x)(∀y)(Pxy) ↔ (∀y)(∀x)(Pxy). 2. (∃x)(∃y)(Pxy) ↔ (∃y)(∃x)(Pxy).
Teorema 7. Intercambio de los cuantificadores Si Pxy es una función proposicional que depende de las variables x e y entonces (∃x)(∀y)(Pxy) → (∀y)(∃x)(Pxy).
Inferencias
De acuerdo con el conjunto de premisas o hipótesis que se presentan en cada caso deducir la tesis, para ello hacer uso de los diferentes elementos del sistema formal de la lógica cuantificacional y de la lógica proposicional si fuera el caso.